Question

三角形的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)稱為三角形的內(nèi)心，如圖，D是△ABC的內(nèi)心，E是△ABD的內(nèi)心，F(xiàn)是△DBE的內(nèi)心，若∠BFE的度數(shù)為整數(shù)，則∠BEF至少是多少度？

Answer 1

分析：首先由三角形內(nèi)角的性質(zhì)，求得，∠ADB=90°+

∠C

2

，∠BED=90°+

∠BAD

2

，∠BFE=90°+

∠BDE

2

，又由∠BFE的度數(shù)為整數(shù)，即可得到∠BFE的最大值，則求得∠BEF的最小值．

解答：解：∵D是△ABC的內(nèi)心，E是△ABD的內(nèi)心，F(xiàn)是△DBE的內(nèi)心，
∴∠BDE=

1

2

∠ADB，∠ADB=90°+

∠C

2

，∠BED=90°+

∠BAD

2

，∠BFE=90°+

∠BDE

2

，
∴∠BFE=90°+

∠BDE

2

=90°+

1

4

∠ADB=90°+

1

4

（90°+

1

2

∠C）=112.5°+

1

8

∠C，
∵∠BFE的度數(shù)為整數(shù)，
∴當(dāng)∠C=172°時(shí)，∠BFE=134°最大，
∴∠BEF至少是46度．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形內(nèi)心的性質(zhì)．注意三角形的內(nèi)心即是三角形角平分線的交點(diǎn)．