Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線（）經(jīng)過，，三點，其頂點為，連接，點是線段上一個動點（不與重合），過點作軸的垂線，垂足為，連接．

（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點的坐標；

（2）如果點的坐標為，的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量的取值范圍，并求出的最大值；

（3）在（2）的條件下，當取得最大值時，過點作的垂線，垂足為，連接，把沿直線折疊，點的對應(yīng)點為，請直接寫出點坐標，并判斷點是否在該拋物線上．

Answer 1

解：（1）設(shè)，

把代入，得，

∴拋物線的解析式為：．

頂點的坐標為．

（2）設(shè)直線解析式為：（），把兩點坐標代入，

得

解得．

∴直線解析式為．

，

∴

  ．

∴當時，取得最大值，最大值為．

（3）當取得最大值，，，∴．

∴四邊形是矩形．

作點關(guān)于直線的對稱點，連接．

法一：過作軸于，交軸于點．

設(shè)，則．

在中，由勾股定理，

．

解得．

∵，

∴．

由，可得，．

∴．

∴坐標．

法二：連接，交于點，分別過點作的垂線，垂足為．

易證．

∴．

設(shè)，則．

∴，．

由三角形中位線定理，

．

∴，即．

∴坐標．

把坐標代入拋物線解析式，不成立，所以不在拋物線上．