Question

已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點（不與A、B重合），過點C作⊙O的切線CD，過A作CD的垂線，垂足是M點。
（1）如圖1，若CD∥AB，求證：AM是⊙O的切線；
（2）如圖2，若AB=6，AM=4，求AC的長。

圖1                                       圖2

Answer 1

解：（1）證明：連接OC， ∵CD是⊙O的切線， ∴OC⊥CD， ∴∠OCM=90°， ∵CD∥AB， ∴∠OCM+∠COA=180°， ∵AM⊥CD， ∴∠AMC=90°， ∴在四邊形OAMC中∠OAM=90°， ∵OA為⊙O的半徑， ∴AM是⊙O的切線；
（2）連接OC，BC， ∵CD是⊙O的切線， ∴OC⊥CD， ∴∠OCM=90°， ∵AM⊥CD， ∴∠AMC=90°， ∴OC∥AM， ∴∠1=∠2， ∵OA=OC， ∴∠3=∠2， 即∠BAC=∠CAM， 易知∠ACB=90°， ∴△BAC∽△CAM， ∴， 即AC2=AB·AM=24， ∴ AC=。