Question

20．在正方形ABCD中，M、N分別是邊CD、AD的中點(diǎn)，連接BN，AM交于點(diǎn)E．求證：AM⊥BN．

Answer 1

分析 先根據(jù)SAS證明△ABN≌△DAM，得出對(duì)應(yīng)角相等∠ABN=∠DAM，再根據(jù)角的互余關(guān)系即可得出∠AEB=90°，證出AM⊥BN．

解答 證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠BAN=∠ADM=90°，
∵M(jìn)、N分別是邊CD、AD的中點(diǎn)，
∴AN=$\frac{1}{2}$AD，DM=$\frac{1}{2}$CD，
∴AN=DM，
在△ABN和△DAM中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=DA}&{\;}\\{∠BAN=∠ADM}&{\;}\\{AN=DM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△DAM（SAS），
∴∠ABN=∠DAM，
∵∠DAM+∠BAE=90°，
∴∠ABN+∠BAE=90°，
∴∠AEB=90°，
∴AM⊥BN．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形全等得出角相等是解決問題的關(guān)鍵．