Question

10．如圖，直線y=x+1與x軸、y軸分別相交于點A、B，過點A的直線y=$\frac{1}{3}$x+b與y軸相交于點C．
（1）求直線AC的解析式；
（2）求直線AC關(guān)于直線AB對稱的直線的解析式．

Answer 1

分析 （1）由直線y=x+1求得A的坐標，代入直線y=$\frac{1}{3}$x+b，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法求得直線CC′的解析式，聯(lián)立方程求得D的坐標，即可求得對稱點C′的坐標，然后利用待定系數(shù)法求得即可．

解答 解：（1）∵直線y=x+1與x軸、y軸分別相交于點A、B，
∴B（0，1），A（-1，0），
∵直線y=$\frac{1}{3}$x+b過A點，
∴0=-$\frac{1}{3}$+b，
解得：b=$\frac{1}{3}$，
∴C（0，$\frac{1}{3}$），
設(shè)AC解析式為y=kx+a，
∵過A（-1，0），C（0，$\frac{1}{3}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-k+a}\\{a=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{1}{3}$，a=$\frac{1}{3}$，
∴AC解析式為y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$；

（2）作C關(guān)于直線AB的對稱點C′，連接CC′交AB于D，則AD⊥CC′，
∴直線CC′的解析式為y=-x+$\frac{1}{3}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=-x+\frac{1}{3}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{3}}\\{y=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴D（-$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$），
設(shè)C′（x，y），
∵-$\frac{1}{3}$=$\frac{x+0}{2}$，$\frac{2}{3}$=$\frac{y+\frac{1}{3}}{2}$，
∴x=-$\frac{2}{3}$，y=1，
∴C′（-$\frac{2}{3}$，1），
設(shè)直線AC′的解析式為y=mx+n，
∵A（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=0}\\{-\frac{2}{3}m+n=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直線AC關(guān)于直線AB對稱的直線的解析式為y=3x+3．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，軸對稱的性質(zhì)，互相垂直兩直線的性質(zhì)等，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．