Question

（2013•呼和浩特）如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn)，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分線CP于點(diǎn)P，交邊CD于點(diǎn)F，
（1）

FC

EF

的值為

10

10

；
（2）求證：AE=EP；
（3）在AB邊上是否存在點(diǎn)M，使得四邊形DMEP是平行四邊形？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由正方形的性質(zhì)可得：∠B=∠C=90°，由同角的余角相等，可證得：∠BAE=∠CEF，根據(jù)同角的正弦值相等即可解答；
（2）在BA邊上截取BK=BE，連接KE，根據(jù)角角之間的關(guān)系得到∠AKE=∠ECP，由AB=CB，BK=BE，得AK=EC，結(jié)合∠KAE=∠CEP，證明△AKE≌△ECP，于是結(jié)論得出；
（3）作DM⊥AE于AB交于點(diǎn)M，連接ME、DP，易得出DM∥EP，由已知條件證明△ADM≌△BAE，進(jìn)而證明MD=EP，四邊形DMEP是平行四邊形即可證出．

解答：（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D，
∵∠AEP=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
在Rt△ABE中，AE=

32+12

=

10

，
∵sin∠BAE=

BE

AE

=sin∠FEC=

FC

EC

，
∴

FC

EC

=

10

10

，

（2）證明：在BA邊上截取BK=BE，連接KE，
∵∠B=90°，BK=BE，
∴∠BKE=45°，
∴∠AKE=135°，
∵CP平分外角，
∴∠DCP=45°，
∴∠ECP=135°，
∴∠AKE=∠ECP，
∵AB=CB，BK=BE，
∴AB-BK=BC-BE，
即：AK=EC，
易得∠KAE=∠CEP，
∵在△AKE和△ECP中，

∠KAE=∠CEP AK=EC ∠AKE=∠ECP

，
∴△AKE≌△ECP（ASA），
∴AE=EP；

（3）答：存在．
證明：作DM⊥AE于AB交于點(diǎn)M，
則有：DM∥EP，連接ME、DP，
∵在△ADM與△BAE中，

∠ADM=∠BAE AD=BA ∠BAD=∠ABE

，
∴△ADM≌△BAE（ASA），
∴MD=AE，
∵AE=EP，
∴MD=EP，
∴MD

∥

.

EP，
∴四邊形DMEP為平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，圖形比較復(fù)雜，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的準(zhǔn)確選擇．