Question

如圖，△ABC中，O為三邊垂直平分線的交點，將△ABC沿DE折疊，使頂點A恰好落在O點處，若BD=OB，則∠C的度數(shù)為

1. A.
   45°
2. B.
   54°
3. C.
   60°
4. D.
   72

Answer 1

B
分析：根據(jù)翻折的性質(zhì)可得AD=OD，根據(jù)等邊對等角可得∠1=∠2，∠3=∠4，連接AO，根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得OA=OB，再根據(jù)等邊對等角可得∠2=∠5，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和和三角形的內(nèi)角和定理列式求解得到∠1，再求出∠AOB，然后根據(jù)點O是△ABC的外心，在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半列式計算即可得解．
解答：解：由翻折的性質(zhì)，AD=OD，
∴∠1=∠2，
∵BD=OB，
∴∠3=∠4，
連接AO，∵O為三邊垂直平分線的交點，
∴OA=OB，
∴∠2=∠5，
在△ADO中，∠4=∠1+∠2=2∠1，
在△ABO中，由三角形內(nèi)角和定理，∠2+∠1+∠3+∠5=∠1+∠1+2∠1+∠1=5∠1=180°，
解得∠1=36°，
∴∠3=2∠1=72°，
∠AOB=∠1+∠3=36°+72°=108°，
∵點O是△ABC的外心，
∴∠C=∠AOB=×108°=54°．
故選B．
點評：本題考查了翻折變換的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，以及在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，綜合性較強，難度較大，熟記各性質(zhì)并用∠1表示出△ABO的內(nèi)角和是解題的關鍵．