Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC與y軸相交于點(diǎn)M，且M是BC的中點(diǎn)，A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（），B（），D（3，0）．連接DM，并把線段DM沿DA方向平移到ON．若拋物線經(jīng)過點(diǎn)D、M、N．
（1）求拋物線的解析式．
（2）拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得PA=PC，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E，點(diǎn)Q是拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)有|QE-QC|最大？并求出最大值．

Answer 1

解：（1）∵BC∥AD，B（-1，2），M是BC與x軸的交點(diǎn)，∴M（0，2），
∵DM∥ON，D（3，0），∴N（-3，2），則，解得，∴；
（2）連接AC交y軸與G，∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴AO=BM=MC，AB=BC=2，∴AG=GC，即G（0，1），
∵∠ABC=90°，∴BG⊥AC，即BG是AC的垂直平分線，要使PA=PC，即點(diǎn)P在AC的垂直平分線上，故P在直線BG上，
∴點(diǎn)P為直線BG與拋物線的交點(diǎn)，
設(shè)直線BG的解析式為，則，解得，∴，
∴，解得，，
∴點(diǎn)P（）或P（），
（3）∵，∴對(duì)稱軸，
令，解得，，∴E（，0），
故E、D關(guān)于直線對(duì)稱，∴QE=QD，∴|QE-QC|=|QD-QC|，
要使|QE-QC|最大，則延長DC與相交于點(diǎn)Q，即點(diǎn)Q為直線DC與直線的交點(diǎn)，
由于M為BC的中點(diǎn)，∴C（1，2），設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，
則，解得，∴，
當(dāng)時(shí)，，
故當(dāng)Q在（）的位置時(shí)，|QE-QC|最大，
過點(diǎn)C作CF⊥x軸，垂足為F，則CD=．

解析