Question

已知二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過A（-1，0）和B（3，0）兩點，且交y軸于點C．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）在圖中畫出這個二次函數(shù)的圖象；
（3）過點C作CD∥x軸交拋物線于點D，點M為此拋物線的頂點，試確定△MCD的形狀．（寫出理由）

Answer 1

解：（1）∵二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過A（-1，0）和B（3，0）兩點，
∴，
解得：，
故此二次函數(shù)的解析式為：y=x²-2x-3；

（2）∵y=x²-2x-3，
∴與y軸的交點C的坐標為（0，-3），
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴頂點坐標（1，-4），對稱軸為直線x=1．
圖象如右所示：

（3）△MCD是等腰直角三角形．理由如下：
∵C（0，-3），
∴點D（2，-3），
∵M（1，-4），
∴CD=2，CM=，DM=，
∴CD²=CM²+DM²，CM=DM，
∴△MCD的形狀為等腰直角三角形．
分析：（1）將A（-1，0）、B（3，0）代入y=x²+bx+c，運用待定系數(shù)法即可求出這個函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)（1）中的解析式，可求出拋物線的對稱軸，頂點坐標，與y軸的交點坐標，根據(jù)已知條件，可知拋物線與x軸的交點坐標為（-1，0），（3，0），分別在坐標系中描出這幾個點，用平滑曲線連接即可作出這個二次函數(shù)的圖象；
（3）根據(jù)題意，首先求得點C，D，M的坐標，即可求得CD，CM，DM的長，然后由勾股定理的逆定理，可確定△MCD是直角三角形，又由CM=DM，即可得出△MCD的形狀是等腰直角三角形．
點評：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，拋物線的畫法以及勾股定理的逆定理等知識，綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應用．