Question

如圖，⊙O的半徑是10cm，點A在⊙O上，線段AC交⊙O于點B，AC=23cm，AB=12cm，點P在線段AC上，設(shè)AP=x（cm），OP=y（cm）．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，及x的取值范圍；
（2）當x=4、14時，求y的值；
（3）當y=8時，求x的值；
（4）當x為何值時，10≤y≤17？

Answer 1

解：（1）作OD⊥AB，垂足為D，連接OA，
∵OD⊥AB，∴AD=DB=AB=6，而OA=10，
在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD==8，
由此可得PD=|x-6|，
在Rt△POD中，OP=，
即y==，（0≤x≤23）；

（2）當x=4時，y==2，
當x=14時，y==8；
（3）當y=8時，=8，解得x=6；
（4）∵當y=10時，=10，解得x=12（舍去負值），
當y=17時，=17，解得x=21（舍去負值），
∴12≤x≤21，
故當12≤x≤21時，10≤y≤17．
分析：（1）作OD⊥AB，垂足為D，連接OA，由垂徑定理得AD=DB=AB，在Rt△AOD中，由勾股定理求OD，在Rt△POD中，由線段關(guān)系表示PD，再由勾股定理得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）利用（1）的函數(shù)關(guān)系式求y的值；
（3）利用（1）的函數(shù)關(guān)系式求x的值；
（4）把y=10和y=17分別代入（1）的函數(shù)關(guān)系式，求對應(yīng)的x的值，再確定x的取值范圍．
點評：本題考查了垂徑定理，勾股定理的綜合運用．關(guān)鍵是由垂徑定理得出相等線段，由勾股定理得出函數(shù)關(guān)系式，并運用函數(shù)關(guān)系式解答其它問題．