Question

4．已知：在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD恰好平分這個(gè)四邊形的面積．求證：這個(gè)四邊形是平行四邊形．

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD于E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BD于F，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AC于G，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC于H，如圖，由對(duì)角線AC平分四邊形ABCD的面積可得AE=CF，由此可證到△AEO≌△CFO，即可得到OA=OC，同理可得OB=OD，即可得到四邊形ABCD是平行四邊形．

解答 證明：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD于E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BD于F，
過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AC于G，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC于H，如圖所示．

∵S_△ABD=S_△CBD，
∴$\frac{1}{2}$BD•AE=$\frac{1}{2}$BD•CF，
∴AE=CF．
在△AEO和△CFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠CFO}\\{∠AOE=∠COF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△CFO，
∴OA=OC，
同理OB=OD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定、三角形的面積公式等知識(shí)，由高相等聯(lián)想到所在的兩個(gè)三角形全等是解決本題關(guān)鍵．