Question

7．已知：點D是等腰直角三角形ABC斜邊BC所在直線上一點（不與點B重合），連接AD．
（1）如圖1，當點D在線段BC上時，將線段AD繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接CE．求證：BD=CE，BD⊥CE；
（2）如圖2，當點D在線段BC延長線上時，將線段AD繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接CE．請畫出圖形．上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；
（3）根據(jù)圖2，請直接寫出AD、BD、CD三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得到條件，判斷出△BAD≌△CAE即可；
（2）同（1）方法一樣；
（3）根據(jù)勾股定理計算即可．

解答 （1）證明：如圖1，

∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DAE=90°，
∴∠DAE=∠CAE+∠DAC=90°，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，∠ACE=∠ABC=45°．
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
∴BD⊥CE；                           
（2）如圖2，

將線段AD繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接CE．
與（1）同理可證CE=BD，CE⊥BD；      
（3）2AD²=BD²+CD²，
∵∠EAD=90°AE=AD，
∴ED=$\sqrt{2}$AD
在RT△ECD中，ED²=CE²+CD²，
∴2AD²=BD²+CD²

點評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)和等腰直角三角形的性質(zhì)，判斷出△BAD≌△CAE是解本題的關(guān)鍵．