Question

如圖，把正方形ABCD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到正方形A′B′CD′（此時，點B′落在對角線AC上，點A′落在CD的延長線上），A′B′交AD于點E，連接AA′、CE．

求證：（1）△ADA′≌△CDE；

（2）直線CE是線段AA′的垂直平分線．

 

Answer 1

【答案】

證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADC=90°�！唷螦′DE=90°。

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的方法可得：∠EA′D=45°，∴∠A′ED=45°�！郃′D=DE。

∵在△AD A′和△CDE中，AD=CD，∠EDC=∠A′DA=90°，A′D=DE，

∴△ADA′≌△CDE（SAS）。

（2）∵AC=A′C，∴點C在AA′的垂直平分線上。

∵AC是正方形ABCD的對角線，∴∠CAE=45°。

∵AC=A′C，CD=CB′，∴AB′=A′D。

∵在△AEB′和△A′ED中，∠EAB′=∠EA′D，∠AEB′=∠A′ED，AB′=A′D，

∴△AEB′≌△A′ED（AAS）�！郃E=A′E。

∴點E也在AA′的垂直平分線上�！嘀本�CE是線段AA′的垂直平分線。

【解析】正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定。

【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=CD，∠ADC=90°，∠EA′D=45°，則∠A′DE=90°，再計算出∠A′ED=45°，根據(jù)等角對等邊可得AD=ED，即可利用SAS證明△AA′D≌△CED。

（2）首先由AC=A′C，可得點C在AA′的垂直平分線上；再證明△AEB′≌△A′ED，可得AE=A′E，從而得到點E也在AA′的垂直平分線上，根據(jù)兩點確定一條直線可得直線CE是線段AA′的垂直平分線。