Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點，OD⊥AC，垂足為E，連接BD.

(1)求證：BD平分∠ABC；

(2) 當∠ODB=30°時，求證：BC=OD.

 

Answer 1

【答案】

證明見解析

【解析】證明：（1）∵OD⊥AC  OD為半徑，∴。

∴∠CBD=∠ABD。 ∴BD平分∠ABC。

（2）∵OB=OD，∠ODB=30°，∴∠OBD=∠ODB=30°。

∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°。

又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA=90°。

∴∠A=180°－∠OEA－∠AOD=180°－90°－60°=30°。

又∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°。

∴在Rt△ACB中，BC=AB 。

∵OD=AB，∴BC=OD。

（1）由OD⊥AC OD為半徑，根據(jù)垂徑定理，即可得 ，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可證得BD平分∠ABC。

（2）由OB=OD，根據(jù)等腰三角形等邊對等角的性質，求得∠AOD的度數(shù)；由OD⊥AC于E，可求得∠A的度數(shù)，然后由AB是⊙O的直徑，根據(jù)圓周角定理，可得∠ACB=90°，從而根據(jù)含30⁰角直角三角形中30⁰角所對直角邊是斜邊一半的性質，可證得BC=OD。