Question

18．當(dāng)-1≤x≤2時(shí)，二次函數(shù)y=x²+2kx+1的最小值是-1，則k的值可能是$\frac{3}{2}$或-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先求拋物線的對(duì)稱軸為：x=-k，分三種情況討論：①當(dāng)-k＜-1時(shí)，此時(shí)-1≤x≤2在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，x=-1所對(duì)應(yīng)的y就是其最小值，列式可求得k的值；②當(dāng)-1≤-k≤2時(shí)，x=-k所對(duì)應(yīng)的y就是其最小值，列式可求得k的值；③當(dāng)-k＞2時(shí)，此時(shí)-1≤x≤2在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小，所以x=2時(shí)所對(duì)應(yīng)的y就是其最小值，同時(shí)可求得k的值；最后寫出結(jié)論．

解答 解：對(duì)稱軸：x=-$\frac{2k}{2}$=-k，
分三種情況討論：
①當(dāng)-k＜-1時(shí)，即k＞1時(shí)，
此時(shí)-1≤x≤2在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x=-1時(shí)，y有最小值，y_小=（-1）²+2k×（-1）+1=-1，
k=$\frac{3}{2}$，
②當(dāng)-1≤-k≤2時(shí)，即-2≤k≤1，
對(duì)稱軸在-1≤x≤2內(nèi)，此時(shí)函數(shù)在-1≤x≤-k，y隨x的增大而減小，
在-k≤x≤2時(shí)，y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x=-k時(shí)，y有最小值，y_小=（-k）²+2k•（-k）+1=-1，
k²-2k²+2=0，
k²-2=0，
k=$±\sqrt{2}$，
∵-2≤k≤1，
∴k=-$\sqrt{2}$，
③當(dāng)-k＞2時(shí)，即k＜-2，
此時(shí)-1≤x≤2在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=2時(shí)，y有最小值，y_小=2²+2k×2+1=-1，
k=-$\frac{3}{2}$（舍），
綜上所述，k的值可能是$\frac{3}{2}$或-$\sqrt{2}$，
故答案為：$\frac{3}{2}$或-$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的最值問題，是�？碱}型；但本題比較復(fù)雜，運(yùn)用了分類討論的思想，做好此類題要掌握以下幾點(diǎn)：形如二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）：①當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線有最小值，當(dāng)x=-$\frac{2a}$時(shí)，y_小=$\frac{4ac-^{2}}{4a}$；②當(dāng)a＞0時(shí)，對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減�。虎廴绻�自變量x在某一范圍內(nèi)求最值，要看對(duì)稱軸，開口方向及圖象．