Question

如圖，已知反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（

1

2

，8），直線y=-x+b經(jīng)過該反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)Q（4，n）．
（1）求上述反比例函數(shù)和直線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若將直線AB向下平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度后與反比例函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

專題：

分析：（1）把已知點(diǎn)代入可求得反比例函數(shù)解析式，則可求得Q點(diǎn)，再把Q點(diǎn)坐標(biāo)代入直線可求得其解析式；
（2）聯(lián)立直線和反比例函數(shù)的解析式，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，其判別式=0即可求得m．

解答：解：（1）∵反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（

1

2

，8），
∴k=

1

2

×8=4，
∴反比例函數(shù)解析式為y=

4

x

，
又∵Q點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，
∴4n=4，
解得n=1，
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（4，1），
∵直線y=-x+b經(jīng)過點(diǎn)Q，
∴1=-4+b，
解得b=5，
∴直線解析式為y=-x+5；
（2）由題意可設(shè)平移后的直線方程為y=-x+5-m，
聯(lián)立反比例函數(shù)解析式，消去y可得：x²+（m-5）x+4=0，
該一元二次方程判別式為△=（m-5）²-16，
直線AB向下平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度后與反比例函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則有△=0，
即（m-5）²-16=0，解得m=1或9，
故當(dāng)m=1或9時(shí)，直線與反比例函數(shù)圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)圖象的交點(diǎn)和待定系數(shù)法去函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的關(guān)鍵是求得點(diǎn)的坐標(biāo)，在（2）中把問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的判別式問題是解題的關(guān)鍵．