Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的圓O交BC于點D，交AC于點E，過點D作DF⊥AC，垂足為F．

（1）求證：DF為⊙O的切線；

（2）若過A點且與BC平行的直線交BE的延長線于G點，連接CG．當(dāng)△ABC是等邊三角形時，求∠AGC的度數(shù)．

Answer 1

考點：

切線的判定；等邊三角形的判定；圓周角定理．.

專題：

計算題；證明題；壓軸題．

分析：

（1）連接AD，OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)與平行線的性質(zhì)，可得DF⊥OD，故得到證明；

（2）根據(jù)題意，△ABC是等邊三角形，可得BG是AC的垂直平分線，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得△ACG是等邊三角形，故∠AGC=60°．

解答：

（1）證明：連接AD，OD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴AD⊥BC．（2分）

∵△ABC是等腰三角形，

∴BD=DC，

又∵AO=BO，

∴OD是△ABC的中位線，

∴OD∥AC．

∵DF⊥AC，（4分）

∴DF⊥OD，

∴DF是⊙O的切線．（5分）

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，

∴BG⊥AC．

∵△ABC是等邊三角形，

∴BG是AC的垂直平分線，

∴GA=GC．（7分）

又∵AG∥BC，∠ACB=60°，

∴∠CAG=∠ACB=60°．

∴△ACG是等邊三角形．

∴∠AGC=60°．（9分）