Question

如圖，直線l₁∥l₂，⊙O與l₁和l₂分別相切于點A和點B．點M和點N分別是l₁和l₂上的動點，線段MN沿l₁和l₂平移．⊙O的半徑為1，∠1=60°．下列結(jié)論錯誤的是（　�。�

• A、l₁與l₂之間的距離為2
• B、MN=

  4 3

  3

• C、若MN與⊙O相切，則∠MON=90°
• D、若MN與⊙O相交，則AM≥

  3

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：幾何圖形問題

分析：A、根據(jù)切線的性質(zhì)知直線AC和BD的距離為該圓的直徑；
B、過M作MF垂直于BD，可得出MF=AB=2，在直角三角形MNF中，由∠MNF的度數(shù)及MF的長，利用銳角三角函數(shù)定義求出MN的長，即可做出判斷．
C、當(dāng)MN與圓O相切時，求出∠MON度數(shù)即可做出判斷；
D、當(dāng)MN與圓O相切時，設(shè)切點為E，連接OE，OM，利用切線長定理得到MA=ME，且MO為角平分線，求出∠AMO為30°，在直角三角形AOM中，由OA及tan30°，求出AM，即可做出判斷，繼而可得MN與⊙O相交時，AM的取值．

解答：解：A、l₁∥l₂，兩平行線之間的距離為線段AB的長，即直徑AB=2，正確．
B、作MF⊥BD，
∵AC∥BD，
∴∠MNF=∠AME=60°，
∵M(jìn)F=AB=2，
在Rt△MNF中，MF=2，∠MNF=60°，
則MN=

AB

sin60°

=

4 3

3

，正確；
C、若MN與⊙O相切，設(shè)切點為E，連接OE，
則OE⊥MN，
∴∠OAM=∠OEM=90°，
在Rt△OAM和Rt△OEM中，

OA=OE OM=OM

，
∴Rt△OAM≌Rt△OEM（HL），
∴∠AOM=∠EOM，
同理：∠BON=∠EON，
∴∠MON=

1

2

×180°=90°，故正確；
D、當(dāng)MN與⊙O相切時切點為E點，連接OM，OE，
∴MA=ME，MO為∠AME平分線，
∵∠AME=60°，
∴∠AMO=30°，
在Rt△AOM中，OA=1，
∴AM=

1

tan30°

=

3

，
同理：AM=

3

3

，
∴當(dāng)MN與圓相切時，AM=

3

或

3

3

，
∴若MN與⊙O相交，則

3

3

＜AM＜

3

．故錯誤．
故選D．

點評：此題考查了切線的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．