Question

8．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，DE⊥BC于E，連接CD．
（1）如圖1，如果∠A=30°，那么DE與CE之間的數(shù)量關(guān)系是DE=$\sqrt{3}$CE．
（2）如圖2，在（1）的條件下，P是線段CB上一點(diǎn)，連接DP，將線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DF，連接BF，請(qǐng)猜想DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（3）如圖3，如果∠A=α（0°＜α＜90°），P是射線CB上一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），連接DP，將線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α，得到線段DF，連接BF，請(qǐng)直接寫出DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系（不需證明）．

Answer 1

分析 （1）求出BE=CE，解直角三角形求出BE即可；
（2）求出DC=DB，∠CDB=60°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)求出∠PDF=60°，DP=DF，求出∠CDP=∠BDF，根據(jù)SAS推出△DCP≌△DBF，根據(jù)全等性質(zhì)求出CP=BF，解直角三角形求出CE=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$DE即可；
（3）當(dāng)P在線段BC上時(shí)，BF+BP=2DEtanα，當(dāng)P在BC延長線上時(shí)，BF-BP=2DEtanα，①如圖1，求出DC=DB=AD，DE∥AC，推出∠A=∠ACD=α，∠EDB=∠A=α，BC=2CE，根據(jù)全等三角形的判定推出△DCP≌△DBF，根據(jù)全等的性質(zhì)得出CP=BF，求出BF+BP=BC，解直角三角形求出CE=DEtanα即可；
②如圖2，求出DC=DB=AD，DE∥AC，求出∠FDB=∠CDP=2α+∠PDB，DP=DF，根據(jù)全等三角形的判定得出△DCP≌△DBF，求出CP=BF，推出BF-BP=BC，解直角三角形求出CE=DEtanα即可．

解答 解：（1）DE=$\sqrt{3}$EC，
理由是：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∵∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，
∴CD=BD，
∵DE⊥BC，
∴BE=EC，
即tan60°=$\frac{DE}{BE}$，
∴DE=$\sqrt{3}$BE，
即DE=$\sqrt{3}$CE，
故答案為：DE=$\sqrt{3}$CE；

（2）DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系是BF+BP=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$DE，
理由如下：
∵∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，∠A=30°
∴DC=DB，∠CDB=60°．
∵線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DF，
∴∠PDF=60°，DP=DF．
又∵∠CDB=60°，∴∠CDB-∠PDB=∠PDF-∠PDB，
∴∠CDP=∠BDF，
在△DCP和△DBF中
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DB}\\{∠CDP=∠BDF}\\{DP=DF}\end{array}\right.$
∴△DCP≌△DBF，
∴CP=BF，
而 CP=BC-BP，
∴BF+BP=BC，
在Rt△CDE中，∠DEC=90°，
∴$tan∠DCE=\frac{DE}{CE}$，
∴CE=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$DE，
∴BC=2CE=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$DE，
∴BF+BP=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$DE．

（3）當(dāng)P在線段BC上時(shí)，BF+BP=2DEtanα，當(dāng)P在BC延長線上時(shí)，BF-BP=2DEtanα，
理由是：①如圖1，

∵∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，DE⊥BC，∠A=α，
∴DC=DB=AD，DE∥AC，
∴∠A=∠ACD=α，∠EDB=∠A=α，BC=2CE，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=2α，
∵∠PDF=2α，
∴∠FDB=∠CDP=2α-∠PDB，
∵線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α得到線段DF，
∴DP=DF，
在△DCP和△DBF中
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DB}\\{∠CDP=∠BDF}\\{DP=DF}\end{array}\right.$
∴△DCP≌△DBF，
∴CP=BF，
而 CP=BC-BP，
∴BF+BP=BC，
在Rt△CDE中，∠DEC=90°，
∴$tan∠DCE=\frac{DE}{CE}$，
∴CE=DEtanα，
∴BC=2CE=2DEtanα，
即BF+BP=2DEtanα；
②當(dāng)P在BC延長線上時(shí)，BF-BP=2DEtanα，
如圖2，

∵∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，DE⊥BC，∠A=α，
∴DC=DB=AD，DE∥AC，
∴∠A=∠ACD=α，∠EDB=∠A=α，BC=2CE，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=2α，
∵∠PDF=2α，
∴∠FDB=∠CDP=2α+∠PDB，
∵線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α得到線段DF，
∴DP=DF，
在△DCP和△DBF中
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DB}\\{∠CDP=∠BDF}\\{DP=DF}\end{array}\right.$
∴△DCP≌△DBF，
∴CP=BF，
而 CP=BC+BP，
∴BF-BP=BC，
在Rt△CDE中，∠DEC=90°，
∴$tan∠DCE=\frac{DE}{CE}$，
∴CE=DEtanα，
∴BC=2CE=2DEtanα，
即BF-BP=2DEtanα．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形外角性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的應(yīng)用，能推出△DCP≌△DBF是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強(qiáng)，證明過程類似．