Question

已知，等邊△ABC邊長為6，P為BC邊上一點，且BP=4，點E、F分別在邊AB、AC上，且∠EPF=60°，設BE=x，CF=y．
（1）求y與x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍；
（2）①若四邊形AEPF的面積為4時，求x的值．②四邊形AEPF的面積是否存在最大值？若存在，請直接寫出面積的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵∠EPF=60°，
∴∠BPE+∠CPF=120°，
∵等邊三角形ABC，
∴∠B=60°，
∴∠BPE+∠BEP=120°，
∴∠BEP=∠CPF，
∵∠B=∠C=60°，
∴△BEP∽△CPF，
∴=，
∴=，
∴y=；
∵當F和A重合時，y=CF=6，x=，
即x的取值范圍是≤x≤6；

（2）①過A作AD⊥BC于D，
過E作EN⊥BC于N，過F作FM⊥BC于M，
∵∠B=60°，AB=6，BE=x，
∴AD=sin60°×6=3，EN=sin60°×x=x，
∵∠C=60°，CF=y=，
∴FM=sin60°×=，
∴S_{四邊形AEPF}=S_△ABC-S_△BEP-S_△CFP=×6×3-×4×x-×2×=9-x-=4，
x²-5x+4=0，
x=1（舍去），x=4，
∴當四邊形AEPF的面積為4時，x=4；
②四邊形AEPF的面積存在最大值，
9-x-=-（+x-9）=-[（-）²-5]=-（-）²+5
即最大值是5．
分析：（1）求出△BEP∽△CPF，得出比例式，代入求出即可；
（2）①過A作AD⊥BC于D，過E作EN⊥BC于N，過F作FM⊥BC于M，求出AD=3，EN=x，CF=y=，F(xiàn)M=，根據(jù)S_{四邊形AEPF}=S_△ABC-S_△BEP-S_△CFP得出方程，求出x即可；
②四邊形AEPF的面積存在最大值，把9-x-化成-（-）²+5，即可得出答案．
點評：本題考查了解直角三角形，等邊三角形性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，勾股定理，函數(shù)的最值等知識點的應用，題目綜合性比較強，難度偏大．