Question

如圖，正方形ABCD的邊長為4，E，F(xiàn)分別在邊AD和DC上，且AE=EF，畫EF⊥FM交BC于點(diǎn)M，則△FMC的周長為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：作AH⊥FM，連接AF，AM，根據(jù)正方形的性質(zhì)分別證明△AFH≌△AFD和Rt△AMH≌Rt△AMB，由全等三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論

解答：解：作AH⊥FM，設(shè)∠EAF=α，
∴∠AHF=∠AHM=90°
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC=CD=4，∠D=∠B=90°
∵EF⊥FM，
∴∠EFM=90°
∵AE=AF，
∴∠EAF=∠EFA=a，
∴∠AFH=90°-α=∠AFD，
在△ADF和△AHF中，

∠D=∠AHF ∠AFD=∠AFH AF=AF

，
∴△AFH≌△AFD﹙AAS﹚
∴DF=HF，AD=AH=4=AB，
在Rt△AHM和Rt△ABM中，

AM=AM AH=AB

，
∴Rt△AMH≌Rt△AMB，
∴HM=BM．
∵△FMC的周長=CF+FM+MC，
∴△FMC的周長=CF+FD+MB+MC=CD+CB=8．
故答案為：8．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)正確作輔助線是解答本題的關(guān)鍵．