Question

如圖，二次函數y=x²+px+q（p＜0）的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，-1），△ABC的面積為．
（1）求該二次函數的關系式；
（2）過y軸上的一點M（0，m）作y軸的垂線，若該垂線與△ABC的外接圓有公共點，求m的取值范圍；
（3）在該二次函數的圖象上是否存在點D，使四邊形ABCD為直角梯形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵OC=1，
∴q=-1，
∵△ABC的面積為．
∴OC×AB=，
解得AB=，
設A（a，0），B（b，0），
則a、b是一元二次方程x²+px-1=0兩個根，
∴a+b=-p，ab=-1，
∴AB=b-a==，
解得p=，
又∵p＜0，
∴p=．
所以解析式為：y=x²-x-1；

（2）令y=0，
解方程得x²-x-1=0，
得x₁=-，x₂=2，
所以A（，0），B（2，0），
在直角三角形AOC中可求得AC=，同樣可求得BC=，
顯然AC²+BC²=AB²，得三角形ABC是直角三角形．AB為斜邊，
所以外接圓的直徑為AB=，
所以．

（3）存在，AC⊥BC，
①若以AC為底邊，則BD∥AC，易求AC的解析式為y=-2x-1，
可設BD的解析式為y=-2x+b，
把B（2，0）代入得BD解析式為y=-2x+4，
解方程組
得D（，9）
②若以BC為底邊，則BC∥AD，易求BC的解析式為y=0.5x-1，
可設AD的解析式為y=0.5x+b，把A（，0）代入
得AD解析式為y=0.5x+0.25，
解方程組
得D（）
綜上，所以存在兩點：（，9）或（）．
分析：（1）由△ABC的面積為，可得AB×OC=，又二次函數y=x²+px+q（p＜0）的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，-1）可求得該二次函數的關系式；
（2）根據直線與圓的位置的位置關系確定m的取值范圍．
（3）四邊形ABCD為直角梯形，要分類討論，即究竟那條邊為底．可以分別以AC、BC為底進行討論．
點評：本題綜合考查了二次函數的有關知識以及直線與圓的關系，范圍較廣，難度較大．