Question

2．如圖，已知拋物線與直線y=x+2交于A（-2，0）和B兩點(diǎn)，與y軸交于C（0，-2），它的對稱軸是直線x=-$\frac{1}{2}$，直線y=x+2與y軸交于點(diǎn)E．
（1）求拋物線與x軸的另一交點(diǎn)D的坐標(biāo)及該拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）①求點(diǎn)B的坐標(biāo)；②求證：E是AB的中點(diǎn)；
（3）若P（x，y）是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得PA=PB？若存在，試求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)對稱性求出點(diǎn)D坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式．
（2）①列方程組即可解決；
②求出AE，EB即可判斷．
（3）線段AB的垂直垂直平分線與拋物線的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)，求出線段AB的垂直平分線的解析式，然后解方程組即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（-2，0）是拋物線與x軸的交點(diǎn)，對稱軸x=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)D為（1，0），
設(shè)拋物線為y=a（x+2）（x-1），把點(diǎn)C（0，-2）代入得a=1，
∴拋物線解析式為y=（x+2）（x-1）=x²+x-2．
（2）①由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+x-2}\\{y=x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，
則點(diǎn)B坐標(biāo)（2，4）．
②∵點(diǎn)E坐標(biāo)（0，2），點(diǎn)B（2.4），點(diǎn)A（-2，0），
∴AE=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，EB=$\sqrt{（0-2）^{2}+（2-4）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴AE=EB，
∴點(diǎn)E是AB中點(diǎn)．
（3）因?yàn)镋A=EB，
所以過點(diǎn)E作線段AB的垂線與拋物線的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P．
設(shè)過點(diǎn)E垂直AB的直線為y=-x+b，把點(diǎn)E（0，2）代入得到b=2，
∴過點(diǎn)E垂直AB的直線為y=-x+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y={x}^{2}+x-2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\sqrt{5}}\\{y=3-\sqrt{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\sqrt{5}}\\{y=3+\sqrt{5}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)（-1+$\sqrt{5}$，3-$\sqrt{5}$）或（-1-$\sqrt{5}$，3+$\sqrt{5}$）．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)、一次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，學(xué)會(huì)用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，知道求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為解方程組，兩條直線垂直k₁•k₂=-1，本題體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中考�？碱}型．