Question

11．如圖，一次函數(shù)y=x+b的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象交于點A（3，6）與點B，且與y軸交于點C，若點P是反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$圖象上的一個動點，作直線AP與x軸、y軸分別交于點M、N，連結BN、CM．若S_△ACM=S_△ABN，則$\frac{AP}{AN}$的值為2或4．

Answer 1

分析 先利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，求點B和C的坐標；
分兩種情況：
①當點P在第一象限時，如圖1，
②當點P在第三象限上時，如圖2，
思路：都是根據(jù)S_△ACM=S_△ABN，列等式求OM的長，確定直線AM的解析式，由方程組的解求點P的坐標，根據(jù)勾股定理計算AP和AN的長，計算其比值即可．

解答 解：把A（3，6）代入到一次函數(shù)y=x+b與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$中，
得：b=3，k=18，
∴y=$\frac{18}{x}$，y=x+3，
∴C（0，3），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{18}{x}}\\{y=x+3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=3}\\{{y}_{1}=6}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-6}\\{{y}_{2}=-3}\end{array}\right.$，
∴B（-6，-3），
分兩種情況：
①當點P在第一象限時，如圖1，
∵S_△ACM=S_△ABN，
S_△MNC-S_△ACN=S_△ACN+S_△BCN，
S_△MNC=2S_△ACN+S_△BCN，
$\frac{1}{2}$NC•OM=2×$\frac{1}{2}$NC×3+$\frac{1}{2}$NC×6，
OM=6+6=12，
∴M（12，0），
直線AM的解析式為：y=-$\frac{2}{3}$x+8，
∴N（0，8），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{18}{x}}\\{y=-\frac{2}{3}x+8}\end{array}\right.$，
$\frac{18}{x}=-\frac{2}{3}x+8$，
解得：x=3或9，
∴P（9，2），
∴AN=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，AP=$\sqrt{{6}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∴$\frac{AP}{AN}=\frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$=2；
②當點P在第三象限上時，如圖2，
∵S_△ACM=S_△ABN，
∴S_△ACN+S_△MNC=S_△ACN+S_△BCN，
S_△MNC=S_△BCN，
$\frac{1}{2}$NC•OM=$\frac{1}{2}$NC×6，
∴OM=6，
∴M（-6，0），
直線AM的解析式為：y=$\frac{2}{3}$x+4，
∴N（0，4），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{18}{x}}\\{y=\frac{2}{3}x+4}\end{array}\right.$，
$\frac{18}{x}=\frac{2}{3}x+4$，
解得：x=3或-9，
∴P（-9，-2），
∴AN=$\sqrt{13}$，AP=$\sqrt{1{2}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{13}$，
∴$\frac{AP}{AN}$=$\frac{4\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$=4，
綜上所述，則$\frac{AP}{AN}$的值為2或4；
故答案為：2或4．

點評 本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點問題，還考查了函數(shù)圖象上點的特征、三角形面積、動點問題、勾股定理及解析式的確定，有難度，并采用了分類討論的思想，根據(jù)已知三角形面積相等列等式是關鍵．