Question

1．如圖1，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三點(diǎn)
（1）求此拋物線的解析式；
（2）P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與C點(diǎn)重合），過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點(diǎn)，使得以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）如圖2，過點(diǎn)C作∠ACB的角平分線CE交X軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)E，T點(diǎn)在拋物線上，它的橫坐標(biāo)是3.5；F為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，H為CE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求TF+HF的最小值．

Answer 1

分析 （1）已知拋物線經(jīng)過C（0，-2），則可設(shè)該拋物線的解析式為y=ax²+bx-2，再把A（4，0），B（1，0）代入即可；
（2）△OAC是直角三角形，以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與其相似，由于點(diǎn)P可能在x軸的上方，或者下方，分三種情況，分別用相似比解答；
（3）由題意，利角平分線的性質(zhì)得到D（2，0）用．易求得CE解析式為y=x-2，過點(diǎn)T₁作T₁H⊥CE，易求得T₁H的解析式為$y=-x+\frac{23}{8}$，解得$H（\frac{39}{16}，\frac{7}{16}）$，可得TF+HF的最小值為$\frac{17}{16}\sqrt{2}$．

解答 解：（1）∵該拋物線過點(diǎn)C（0，-2），
∴設(shè)該拋物線的解析式為y=ax²+bx-2．
將A（4，0），B（1，0）代入，得$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b-2=0}\\{a+b-2=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$．
故此拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2．

（2）存在．
如圖，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，
則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2，
當(dāng)1＜m＜4時(shí)，
AM=4-m，PM=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2，
又∵∠COA=∠PMA=90°，
∴①當(dāng)$\frac{AM}{PM}$=$\frac{OA}{OC}$=2時(shí)，△APM∽△ACO，
∴$\frac{|4-x|}{|y|}$=2，即|4-m|=2（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2），
∴4-m=m²+5m-4，
∴m²-6m+8=0，
∴（m-2）（m-4）=0，
解得：m₁=2，m₂=4（舍去）
∴P（2，1）
②當(dāng)$\frac{AM}{PM}$=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{1}{2}$，△APM∽△CAO，
那么有：2|4-m|=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2，
∴2（4-m）=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2，
∴m²-9m+20=0，
∴（m-4）（m-5）=0，
解得：m₁=4（舍去），m₂=5（舍去），
∴當(dāng)1＜m＜4時(shí)，P（2，1），
類似地可求出當(dāng)m＞4時(shí)，P（5，-2），
當(dāng)m＜1時(shí)，P（-3，-14），
當(dāng)P，C重合時(shí)，△APM≌△ACO，P（0，-2）（不合題意舍去）．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P為（2，1）或（5，-2）或（-3，-14）；

（3）∵CE是∠ACB的角平分線，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∴D（2，0），
∴CE解析式為y=x-2，
如圖2，過點(diǎn)T₁作T₁H⊥CE，
則T₁H的解析式為$y=-x+\frac{23}{8}$，
解得$H（\frac{39}{16}，\frac{7}{16}）$，
故TF+HF的最小值為$\frac{17}{16}\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，拋物線解析式的求法，拋物線與相似三角形的問題，以及最值問題，要求會(huì)用字母代替長(zhǎng)度，坐標(biāo)，會(huì)對(duì)代數(shù)式進(jìn)行合理變形．