Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x2-x-3交x軸于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，交y軸于點(diǎn)C.

(1)求直線AC的解析式；

(2)①點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、點(diǎn)C重合)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC于點(diǎn)D，求PD的最大值；

②當(dāng)線段PD的長(zhǎng)度最大時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)P出發(fā)，先以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)到y軸上的點(diǎn)M處，再沿MC以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，當(dāng)點(diǎn)Q在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)如圖②，將△BOC沿直線BC平移，點(diǎn)B平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B'，點(diǎn)O平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)O'，點(diǎn)C平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C'，點(diǎn)S是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，若以A、C、O'、S為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，求出所有符合條件的點(diǎn)O'的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1)y=-x-3；(2)①PD=；②M(0，2)；(3)滿足條件的點(diǎn)O'的坐標(biāo)為(，)或(，)或(3，-9)或(-，)或(，).

【解析】

(1)分別求出拋物線y=-x2-x-3與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后分別把A(-6，0)， C(0，-3)代入直線AC的解析式為y=kx+b 中，解二元一次方程組即可.

(2)①由于AC=3為定值，根據(jù)三角形的面積公式，可知當(dāng)△PAC的面積最大時(shí)，PD最大時(shí)，利用三角形的面積公式求出的關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出△PAC的面積最大值為，利用S△PAC=AC×PD，即可求出PD的長(zhǎng).

②利用勾股定理可求出CN=，利用sin∠OCN=，可求出MK=， 從而可得點(diǎn)Q在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的時(shí)間等于PK的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E，根據(jù)垂線段最短可知與y軸交點(diǎn)即為M，sin∠OCN=sin∠EPM=，從而求出OM=2，即得M的坐標(biāo).

(3)①如圖③、圖④利用菱形的四條邊相等，可得AC=AO'=3，根據(jù)點(diǎn)O'在直線y=-3x上，設(shè)O'(m，-3m)，利用勾股定理建立等式，解出m即可.

②如圖⑤、圖⑥，同①可得.

③如圖⑦，同①可得.

(1)解：對(duì)于拋物線y=-x2-x-3，令x=0，得到y=-3，

∴C(0，-3)，

令y=0，得到x2+7x+6=0，解得x=-6或x=-1，

∴A(-6，0)，B(-1，0)，

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，則有 ，

∴直線AC的解析式為y=-x-3.

(2)解：①如圖①，

設(shè)P(m，-m2-m-3)，連接PA、PC，作PK∥y軸交AC于點(diǎn)K，則K(m，-m-3)，

∵PD⊥AC，AC=3為定值，

∴PD最大時(shí)，△PAC的面積最大，

∵S△PAC=×(-m2-3m)×6=-(m+3)2+，

∴m=-3時(shí)，△PAC的面積最大，最大值為，此時(shí)P(-3，3)，×AC×PD=，

∴PD=.

②如圖②，

在x軸上取一點(diǎn)N(1，0)，作直線CN，過(guò)點(diǎn)P作PK⊥CN于點(diǎn)K，交y軸于點(diǎn)M.

∵OC=3，ON=1，

∴CN= ，

∴sin∠OCN=，

∴MK=，

∴.點(diǎn)Q在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的時(shí)間==PM+MK=PK，

根據(jù)垂線段最短可知，點(diǎn)M即為所求的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E，，

∴EM=1，

∴OM=2，

∴M(0，2)

(3)解：①如圖③、圖④，

當(dāng)四邊形ACSO'是菱形時(shí)，設(shè)AS交CO'于點(diǎn)K，AC=AO'=3，

∵點(diǎn)O'在直線y=-3x上，A(-6，0)，設(shè)O'(m，-3m)，

∴(m+6)2+(-3m)2=(3)2，解得m= ，

∴O'(，)或(，)；

②如圖⑤、圖⑥，

當(dāng)四邊形ACO'S是菱形時(shí)，設(shè)CS交AO'于點(diǎn)K，AC=CO'=3，

∵點(diǎn)O'在直線y=-3x上，C(0，-3)，設(shè)O'(m，-3m)，

∴m2+(-3m+3)2=(3)2，解得m=3或m=-，

∴O'(3，-9)或(-，).

③如圖⑦，

當(dāng)四邊形ASCO'是菱形時(shí)，設(shè)AC交SO'于點(diǎn)K，AC=3.

∵點(diǎn)O'在直線y=-3x上，C(0，-3)，設(shè)O'(m，-3m)，

∴m2+(-3m+3)2=()2+(m+3)2+(-3m+)，解得m=，

∴O'(，)。

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)O'的坐標(biāo)為(，)或(，)或(3，-9)或(-，)或(，).