Question

17．（1）填空：2¹-2⁰=2-1=2^{（　�。�}，2²-2¹=4-2=2^{（　�。�}，2³-2²=8-4=2^{（　�。�}，…
（2）探索（1）中式子的規(guī)律，試寫出第n個等式，并說明第n個等式成立：
（3）計算：2⁰+2¹+2²+…+2⁹⁹．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)乘方的運算法則計算即可；
（2）根據(jù)式子規(guī)律可得2ⁿ-2^n-1=2^n-1，然后利用提公因式2^n-1可以證明這個等式成立；
（3）設(shè)題中的表達式為a，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘法得出2a的表達式，相減即可．

解答 解：（1）2¹-2⁰=2-1=2⁰，2²-2¹=4-2=2¹，2³-2²=8-4=2²；
故答案為：2-1；0；4-2；1；8-4；2；

（2）第n個等式為：2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
∵左邊=2ⁿ-2^n-1=2^n-1（2-1）=2^n-1，
右邊=2^n-1，
∴左邊=右邊，∴2ⁿ-2^n-1=2^n-1；

（3）設(shè)a=2°+2¹+2²+2³+…+2⁹⁸+2⁹⁹．①
則2a=2¹+2²+2³+…+2⁹⁸+2⁹⁹+2¹⁰⁰②
由②-①得：a=2¹⁰⁰-1
∴2⁰+2¹+2²+2³+…+2⁹⁸+2⁹⁹=2¹⁰⁰-1．

點評 此題主要考查了探尋數(shù)列規(guī)律問題，認(rèn)真觀察、仔細思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法，注意觀察總結(jié)規(guī)律，并能正確的應(yīng)用規(guī)律，解答此題的關(guān)鍵是判斷出：2ⁿ-2^n-1=2^n-1成立．