Question

13．已知拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)為D（-1，3），與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在（-3，0）和（-2，0）之間，其部分圖象如圖，則以下結(jié)論：
①b²-4ac＞0；②c-a=3；③a+b+c＜0；④方程ax²+bx+c=m（m≥2）一定有實(shí)數(shù)根，其中正確的結(jié)論為（　�。�

• A． ②③
• B． ①③
• C． ①②③
• D． ①②④

Answer 1

分析 由拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)得到b²-4ac＞0；由拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)得到拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1，則根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（0，0）和（1，0）之間，所以當(dāng)x=1時(shí)，y＜0，則a+b+c＜0；由拋物線的頂點(diǎn)為D（-1，3）得a-b+c=3，由拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-$\frac{2a}$=-1得b=2a，所以c-a=2；根據(jù)二次函數(shù)的最大值問題，當(dāng)x=-1時(shí)，二次函數(shù)有最大值為3，即ax²+bx+c=3，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，而當(dāng)m＞3時(shí)，方程ax²+bx+c=m沒有實(shí)數(shù)根．

解答 解：∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴b²-4ac＞0，所以①正確；
∵拋物線的頂點(diǎn)為D（-1，3），
∴a-b+c=3，
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-$\frac{2a}$=-1，
∴b=2a，
∴a-2a+c=3，即c-a=3，所以②正確；
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1，
∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)（-3，0）和（-2，0）之間，
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（0，0）和（1，0）之間，
∴當(dāng)x=1時(shí)，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以③正確；
∵拋物線的頂點(diǎn)為D（-1，3），
∵當(dāng)x=-1時(shí)，二次函數(shù)有最大值為3，
∴方程ax²+bx+c=3有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∵m≥2，
∴方程ax²+bx+c=m（m＞3）沒有實(shí)數(shù)根，所以④錯(cuò)誤．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，當(dāng)a＞0，拋物線開口向上；對(duì)稱軸為直線x=-$\frac{2a}$；拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）；當(dāng)b²-4ac＞0，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b²-4ac=0，拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b²-4ac＜0，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．