Question

14．如圖，拋物線y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}+bx+c$經(jīng)過A（4，0），C（0，4）兩點(diǎn)，點(diǎn)B是拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)，點(diǎn)E是OC的中點(diǎn)，作直線AC、點(diǎn)M在拋物線上，過點(diǎn)M作MD⊥x軸，垂足為點(diǎn)D，交直線AC于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，MN的長度為d．
（1）直接寫出直線AC的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（3）求d關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；
（4）當(dāng)以點(diǎn)M、N、E、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時，直接寫出m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得直線的解析式；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得拋物線的解析式；
（3）根據(jù)平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是大的縱坐標(biāo)減小的縱坐標(biāo)，可得答案；
（4）根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可得MN的長，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，將A、C點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
直線AC的解析式為y=-x+4；
（2）將A、C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}×{4}^{2}+4b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=4}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4；
（3）∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，-$\frac{1}{2}$m²+m+4）．點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，-m+4）．
①當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方時，MN=-$\frac{1}{2}$²+m+4-（-m+4）=-$\frac{1}{2}$m²+2m，
d=-$\frac{1}{2}$m²+2m；
②當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的下方時，MN=-m+4-（-$\frac{1}{2}$m²+m+4）=$\frac{1}{2}$m²-2m，
d=$\frac{1}{2}$m²-2m；
（4）m的值為m₁=2，m₂=2-2$\sqrt{2}$，m₃=2+2$\sqrt{2}$．理由如下：
①點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方時，MN═OE=2，即-$\frac{1}{2}$m²+2m=2，
解得m₁=m₂=2．
∴m=2；
②當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的下方時，MN=OE=2，即$\frac{1}{2}$m²-2m=2，
解得m₁=2-2$\sqrt{2}$，m₂=2+2$\sqrt{2}$，
∴m=2-2$\sqrt{2}$，m=2+2$\sqrt{2}$．
綜上所述：當(dāng)以點(diǎn)M、N、E、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時，m的值為m₁=2，m₂=2-2$\sqrt{2}$，m₃=2+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；利用平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是大的縱坐標(biāo)減小的縱坐標(biāo)是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏；利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出MN的長是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏．