Question

如圖，拋物線經(jīng)過A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)三點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；

(2)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點(diǎn)，使得以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

(3)在直線AC上方的拋物線上有一點(diǎn)D，使得△DCA的面積最大，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵該拋物線過點(diǎn)C(0，－2)， 　　∴可設(shè)該拋物線的解析式為y＝ax2＋bx－2． 　　將A(4，0)，B(1，0)代入， 　　得解得 　　∴此拋物線的解析式為y＝2＋x－2　　(3分) 　　(2)存在　　(4分) 　　如圖，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m， 　　則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為－m2＋m－2 　　當(dāng)1＜m＜4時(shí)， 　　AM＝4－m，PM＝－m2＋m－2 　　又∵∠COA＝∠PMA＝90°， 　　∴①當(dāng)時(shí)， 　　△APM∽△ACO， 　　即4－m＝2(－m2＋m－2)， 　　解得m1＝2，m2＝4(舍去)．∴P(2，1)　　(6分) 　�、诋�(dāng)時(shí)，△APM∽△CAO，即2(4－m)＝－m2＋m－2， 　　解得m1＝4，m2＝5(均不合題意，舍去)． 　　∴當(dāng)1＜m＜4時(shí)，P(2，1)，　　(7分) 　　類似地可求出當(dāng)m＞4時(shí)，P(5，－2)．(8分) 　　當(dāng)m＜1時(shí)，P(－3，－14)． 　　綜上所述，符合條件的點(diǎn)P為(2，1)或(5，－2)或(－3，－14)　　(9分) 　　(3)如圖，設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t(0＜t＜4)，則D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為－t2＋t－2 　　過D作y軸的平行線交AC于E． 　　由題意可求得直線AC的解析式為y＝x－2　　(10分) 　　∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為(t，t－2)． 　　∴DE＝－t2＋t－2－(t－2)＝－t2＋2t　　(11分) 　　∴S△DAC＝×(－t2＋2t)×4＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4． 　　∴當(dāng)t＝2時(shí)，△DAC面積最大． 　　∴D(2，1)．　　(13分)