Question

如圖，拋物線y=x²＋bx＋c與y軸交于點(diǎn)C，與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，―4)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)Q是線段OB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QE//BC，交AC于點(diǎn)E，連接CQ，設(shè)OQ=m，當(dāng)△CQE的面積最大時(shí)，求m的值，并寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

（3）若平行于x軸的動(dòng)直線，與該拋物線交于點(diǎn)P，與直線BC交于點(diǎn)F，D的坐標(biāo)為(－2，0)，則是否存在這樣的直線l，使OD=DF？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）故所求拋物線的解析式為y=x²＋x―4．         

（2）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（―1，0）．                   

（3）若存在，

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（―4，0），D的坐標(biāo)為(－2，0)，DO=DF，

∴DB=DF．∴∠ABC=∠BFD．

∵OC=OB，∠ABC=∠BCO=45°．

∴∠ABC=∠BFD=45°．

∴FDAB．

則F（―2，―2）．

∴x²＋x―4=―2．解得x₁=―1―，x₂=―1＋．

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（―1―，―2）或（―1＋，―2）．       

【解析】（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可得出答案；

（2）首先求出△AEQ∽△ACB進(jìn)而得出，再利用得出關(guān)于m的二次函數(shù)關(guān)系進(jìn)而得出答案；

（3）得出F（-2，-2）進(jìn)而代入求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可．