Question

3．如圖已知AB為半⊙O的直徑，C、D為弧$\widehat{AB}$上兩點(diǎn)，P、Q分別為△OAC、△OBD的外心．證明：CP•CQ=DP•DQ．

Answer 1

分析 連接AP，OP，AD，BQ，OQ，BC，只要證明△APD∽△QBC，即可解決問題．

解答 解：連接AP，OP，AD，BQ，OQ，BC，

設(shè)∠BAD=α，∠ABC=β，
∵∠OAP=∠AOP=$\frac{1}{2}∠$AOC=∠ABC=β，∠OBQ=∠BOQ=$\frac{1}{2}∠$BOD=∠BAD=α，
∴∠PAD=∠OAP-∠OAD=β-α=∠OBC-∠OBQ=∠QBC，
∵$\frac{AD}{AP}=\frac{AD}{AB}•\frac{AB}{AO}•\frac{AO}{AP}$=cosα×2×2cosβ=4cosα×cosβ，
同理$\frac{BC}{BQ}$=4cosα×cosβ，
∴$\frac{AD}{AP}$=$\frac{BC}{BQ}$，
∴$\frac{AD}{BC}$=$\frac{AP}{BQ}$∵∠PAD=∠QBC，
∴△APD∽△QBC，
∴$\frac{AP}{QB}$=$\frac{PD}{CQ}$，∵PA=PC，BQ=DQ，
∴$\frac{PC}{DQ}$=$\frac{PD}{CQ}$，
∴CP•CQ=DP•DQ．

點(diǎn)評 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形的外心與外接圓等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線，構(gòu)造相似三角形，題目比較難，屬于競賽題目．