Question

在直角坐標系XOY中，二次函數(shù)圖象的頂點坐標為，且與x軸的兩個交點間的距離為6．
（1）求二次函數(shù)解析式；
（2）在x軸上方的拋物線上，是否存在點Q，使得以點Q、A、B為頂點的三角形與△ABC相似？如果存在，請求出Q點的坐標，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵頂點坐標為C（4，-），且與x軸的兩個交點間的距離為6，
∴對稱軸x=4，A（1，0），B（7，0），
設(shè)拋物線解析式y(tǒng)=a（x-1）（x-7），將C點坐標代入可得a=，
∴所求解析式為y=x²-x+；

（2）在x軸上方的拋物線上存在點Q，使得以點Q、A、B為頂點的三角形與△ABC相似，
因為△ABC為等腰三角形，
∴當AB=BQ，
∵AB=6，
∴BQ=6，過點C作CD⊥x軸于D，則AD=3，CD=
∴∠BAC=∠ABC=30°，
∴∠ACB=120°，
∴∠ABQ=120°，過點Q作QE⊥x軸于E，則∠QBE=60°，
∴QE=BQsin60°=6×=3，
∴BE=3，
∴E（10，0），．
當x=10時，y=×10²-×10+=3；
∴點Q在拋物線上，由拋物線的對稱性，
還存在一點，使△ABQ′∽△CAB故存在點或．
分析：（1）已知頂點，就已知對稱軸，又AB=6，可求A、B兩點坐標了，可設(shè)拋物線交點式求解；
（2）根據(jù)點的坐標先研究△ABC的特殊性，AC=BC，∠A=∠B=30°，故△ABQ也是等腰三角形，AB為腰，且∠A=30°或者∠B=30°，通過解直角三角形可求Q點坐標，再判斷Q點是否在拋物線上．
點評：本題考查了點的坐標及拋物線解析式的求法，在拋物線上尋找三角形相似的條件的方法．