Question

已知：如圖，⊙P與x軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O，點(diǎn)A（0，2）是⊙P與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B（-2，0）在x軸上．連接BP交⊙P于點(diǎn)C，連接AC并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)D。
（1）求線段BC的長(zhǎng)；
（2）求直線AC的關(guān)系式；
（3）當(dāng)點(diǎn)B在x軸上移動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)B，使△BOP相似于△AOD？若存在，求出符合條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）法一：由題意，得OP=1，BO=2，CP=1， 在Rt△BOP中， ∵BP2=OP2+BO2， ∴（BC+1）2=12+（2）2， ∴BC=2； 法二：延長(zhǎng)BP交⊙P于G， 如圖所示，由題意，得OB=2，CG=2， ∵OB2=BC·BG， ∴（2）2=BC（BC+2）， BC=2； （2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于E，CF⊥y軸于F， 在△PBO中， ∵CF∥BO， ∴， 即， 解得CF=， 同理可求得CE=， 因此C（-，）， 設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（k≠0）， 把A（0，2），C（-，）兩點(diǎn)代入關(guān)系式，得， 解得， ∴所求函數(shù)關(guān)系式為y=x+2； （3）如圖所示，在x軸上存在點(diǎn)B，使△BOP與△AOD相似， ∵∠OPB＞∠OAD， ∴∠OPB≠∠OAD， 故若要△BOP與△AOD相似，則∠OBP=∠OAD， 又∠OPB=2∠OAD， ∴∠OPB=2∠OBP， ∵∠OPB+∠OBP=90°， ∴3∠OBP=90°， ∴∠OBP=30°， 因此OB=cot30°OP=， ∴B1點(diǎn)坐標(biāo)為（-，0）， 根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可求得符合條件的B2坐標(biāo)（，0）， 綜上，符合條件的B點(diǎn)坐標(biāo)有兩個(gè)：B1（-，0），B2（，0）．