Question

組裝甲、乙、丙3種產(chǎn)品，需用A、B、C3種零件．每件甲需用A、B各2個；每件乙需用B、C各1個；每件丙需用2個A和1個C．用庫存的A、B、C3種零件，如組裝成p件甲產(chǎn)品、q件乙產(chǎn)品、r件丙產(chǎn)品，則剩下2個A和1個B，C恰好用完．求證：無論怎樣改變生產(chǎn)甲、乙、丙的件數(shù)，也不能把庫存的A、B、C3種零件都恰好用完．

Answer 1

解：由已知，庫存的A、B、C3種零件的個數(shù)分別為：
A種2p+2r+2件，B種2p+q+1件，C種q+r件．
假設生產(chǎn)甲x件，乙y件，丙z件恰好將3種零件都用完，則由題意得：

（1）+（3）-（2）得：3z=3r+1它的左邊是3的倍數(shù)，而右邊卻是3的倍數(shù)加1，矛盾，不成立，
所以不能把庫存的A、B、C3種零件都恰好用完．
分析：易得庫存的A，B，C的零件個數(shù)，假設生產(chǎn)甲x件，乙y件，丙z件恰好將3種零件都用完，等量關(guān)系為：甲的零件個數(shù)×2+丙的零件個數(shù)×2=A的零件總數(shù)；甲的零件個數(shù)×2+乙的零件個數(shù)×1=B的零件總數(shù)；乙的零件個數(shù)×1+丙的零件個數(shù)×1=C的零件總數(shù)；把所給式子整理，消去一個未知數(shù)，得到不存在的情況即可．
點評：考查反證法及三元一次方程組的應用；得到原料的代數(shù)式是解決本題的突破點；得到恰好用完各種原料的代數(shù)式是解決本題的關(guān)鍵；本題列出方程組后，沒有解出x、y、z，而導出矛盾，而是巧妙地通過方程的加減得出矛盾式3z=3r+1，從而得出結(jié)論．所以有些數(shù)學問題應從整體上來把握解法．