Question

4．如圖，在△OAB中，OA=OB，以點(diǎn)O為圓心的⊙O經(jīng)過AB的中點(diǎn)C，直線AO與⊙O相交于點(diǎn)E、D，OB交⊙O于點(diǎn)F，P是$\widehat{DF}$的中點(diǎn)，連接CE、CF、BP．
（1）求證：AB是⊙O的切線．
（2）若OA=4，則
①當(dāng)$\widehat{DP}$長為$\frac{π}{3}$時(shí)，四邊形OECF是菱形；
②當(dāng)$\widehat{DP}$長為$\frac{\sqrt{2}π}{2}$時(shí)，四邊形OCBP是正方形．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知OC⊥AB，依據(jù)題意可知OC為⊙O的半徑，故此可證明AB是⊙O的切線；
（2）①由菱形的性質(zhì)可知：OE=EC，∠EOC=∠COF，然后證明△OEC為等邊三角形可得到∠EOC的度數(shù)，然后可求得∠DOP的度數(shù)，接下來，在△OAC中，利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得OC的長，最后依據(jù)弧長公式求解即可；②依據(jù)正方形的性質(zhì)可求得OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∠POF=45°，然后可得到∠DOP的度數(shù)，最后依據(jù)弧長公式求解即可．

解答 解：（1）∵在△ABO中，OA=OB，C是AB的中點(diǎn)，
∴OC⊥AB．
∵OC為⊙O的半徑，
∴AB是⊙O的切線．

（2）①∵OECF為菱形，
∴OE=EC，∠EOC=∠COF．
∴OE=EC=OC．
∴∠EOC=∠COF=60°．
∴∠DOF=60°．
又∵P為弧DF的中點(diǎn)，
∴∠DOP=30°．
∵∠AOC=60°，∠OCA=90°，
∴OC=$\frac{1}{2}$OA=2．
∴弧DP的長=$\frac{30π×2}{180}$=$\frac{π}{3}$．
②∵四邊形OCBP為正方形，
∴∠COB=∠POB=45°．
∴OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OB=2$\sqrt{2}$．
∵P為弧DF的中點(diǎn)，
∴∠DOP=45°．
∴弧DP的長=$\frac{45π×2\sqrt{2}}{180}$=$\frac{\sqrt{2}π}{2}$．
故答案為：①$\frac{π}{3}$；②$\frac{\sqrt{2}π}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查的是切線的判定和性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、特殊銳角三角函數(shù)、等邊三角形的性質(zhì)和判定、弧長的計(jì)算，求得∠DOP的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．