Question

14．如圖，△COD是△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)30°后所得的圖形，點(diǎn)C恰好在AB上，∠AOD=90°．
（1）∠B的度數(shù)是45°；
（2）若AO=$2\sqrt{3}$，CD與OB交于點(diǎn)E，則BE=3-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出OC=OA，∠BOD=∠AOC=30°，∠OCD=∠A，由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果；
（2）作CM⊥OB于M，EN⊥BC于N，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出M=$\frac{1}{2}$OC=$\sqrt{3}$，由等腰直角三角形的性質(zhì)求出BC=$\sqrt{2}$CM=$\sqrt{6}$，作EN⊥BC于N，設(shè)EN=a，求出CN=$\sqrt{3}$EN=$\sqrt{3}$a，BN=EN=a，由BN+CN=BC得出方程，解方程求出BN，即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：OC=OA，∠BOD=∠AOC=30°，∠OCD=∠A，
∴∠OCD=∠A=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，
∵∠AOD=90°，
∴∠AOB=90°-30°=60°，
∴∠B=180°-∠A-∠AOB=180°-75°-60°=45°，
故答案為：45°；
（2）作CM⊥OB于M，EN⊥BC于N，如圖所示：
∵∠MOC=60°-30°=30°，
∴CM=$\frac{1}{2}$OC=$\sqrt{3}$，
∵∠B=45°，
∴△BCM是等腰直角三角形，
∴BC=$\sqrt{2}$CM=$\sqrt{6}$，
作EN⊥BC于N，設(shè)EN=a，
∵∠BCE=180°-75°-75°=30°，
∴CN=$\sqrt{3}$EN=$\sqrt{3}$a，
∵∠B=45°，
∴BN=EN=a，
∵BN+CN=BC，
∴a+$\sqrt{3}$a=$\sqrt{6}$，
解得：a=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$，
∴BE=$\sqrt{2}$BN=$\sqrt{2}$×$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$=3-$\sqrt{3}$；
故答案為：3-$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，通過(guò)作輔助線證明三角形是等腰直角三角形是解決問(wèn)題（2）的關(guān)鍵．