Question

10．如圖，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC與∠ACB的平分線分別交AC，AB于點D，E．BD，CE相交于點F，現(xiàn)給出以下四個結(jié)論：①∠BFE=60°；②FE=FD；③AE=AD；④BD=BC．其中正確的是①②（把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上）

Answer 1

分析 ①正確．只要求出∠BFC即可解決問題；
②正確．在BC上截取BG=BE，連接FG．只要證明△EBF≌△GBF（SAS），△FDC≌△FGC（ASA）即可解決問題；
③④錯誤，假設(shè)成立，推出矛盾即可．

解答 解：如圖，∵∠A=60°，BD、CE分別是∠ABC和∠BCA的平分線，
∴∠FBC+∠FCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=60°
∴∠BFC=180°-60°=120°，
∴∠BFE=180°-∠BFC=60°故①正確，
在BC上截取BG=BE，連接FG．
∵BD是∠BAC的平分線，
∴∠EBF=∠GBF，
在△EAF和△GAF中
∵$\left\{\begin{array}{l}{BE=BG}\\{∠EBF=∠GBF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△EBF≌△GBF（SAS），
∴FE=FG，∠EFB=∠GFB=60°，
∴∠GFC=180°-60°-60°=60°，
又∵∠DFC=∠EFB=60°，
∴∠DFC=∠GFC，
在△FDC和△FGC中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠DFC=∠GFC}\\{FC=FC}\\{∠FCD=∠FCG}\end{array}\right.$，
∴△FDC≌△FGC（ASA），
∴FD=FG，
∴FE=FD，故②正確，
AE不一定等于AD，若AE=AD則△ABC是等邊三角形，顯然不可能，故③錯誤，
BD不一定等于BC，若BD=BC，可以推出∠ABC=40°，顯然不可能，故④錯誤，
故答案為①②．

點評 本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線面構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．