Question

（9分）如圖，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四邊形CDEF是正方形，連結AF、BD.

(1)觀察圖形，猜想AF與BD之間有怎樣的關系，并證明你的猜想；

(2)若將正方形CDEF繞點C按順時針方向旋轉，使正方形CDEF的一邊落在△ABC的內部，請你畫出一個變換后的圖形，并對照已知圖形標記字母，題(1)中猜想的結論是否仍然

成立？若成立，直接寫出結論，不必證明；若不成立，請說明理由.

 

Answer 1

（1）猜想：AF=BD且AF⊥BD.………………1分

證明：設AF與DC交點為G.

∵FC=DC，AC=BC，∠BCD=∠BCA+∠ACD，

∠ACF=∠DCF+∠ACD，∠BCA=∠DCF=90°，

∴∠BCD=∠ACF.

∴△ACF≌△BCD.

∴AF=BD.，∠AFC=∠BDC.……………………3分

∵∠AFC+∠FGC=90°,∠FGC=DGA，

∴∠BDC+∠DGA=90°.

∴AF⊥BD. ………………4分

∴AF=BD且AF⊥BD.……………………5分

(2)如圖，結論：AF=BD且AF⊥BD.……………………9分

圖形不唯一，只要符合要求即可.

畫出圖形得2分，寫出結論得2分，此小題共4分.

如：圖1中CD邊在△ABC的內部；圖2中CF邊在△ABC的內部.    

解析:略