Question

12．如果，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2cm，E為CD邊上一點(diǎn)，∠DAE=30°，M為AE的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線分別與AD、BC相交于點(diǎn)P、Q，若PQ=AE，則PD等于（　　）

• A． $\frac{2}{3}$cm或$\frac{2}{3}\sqrt{3}$cm
• B． $\frac{2}{3}\sqrt{3}$cm
• C． $\frac{4}{3}$cm或$\frac{2}{3}\sqrt{3}$cm
• D． $\frac{2}{3}$cm或$\frac{4}{3}$cm

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫出圖形，過P作PN⊥BC，交BC于點(diǎn)N，由ABCD為正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出DE的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理求出AE的長(zhǎng)，根據(jù)M為AE中點(diǎn)求出AM的長(zhǎng)，利用HL得到三角形ADE與三角形PQN全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角相等得到DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，再由PN與DC平行，得到∠PFA=∠DEA=60°，進(jìn)而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根據(jù)AM的長(zhǎng)，利用銳角三角函數(shù)定義求出AP的長(zhǎng)，進(jìn)而得出DP的長(zhǎng)．

解答 解：根據(jù)題意畫出圖形，過P作PN⊥BC，交BC于點(diǎn)N，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=DC=PN，
在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AD=2cm，
∴tan30°=$\frac{DE}{AD}$，即DE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$cm，
根據(jù)勾股定理得：AE=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$cm，
∵M(jìn)為AE的中點(diǎn)，
∴AM=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$cm，
在Rt△ADE和Rt△PNQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=PN}\\{AE=PQ}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL），
∴DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，
∵PN∥DC，
∴∠PFA=∠DEA=60°，
∴∠PMF=90°，即PM⊥AF，
在Rt△AMP中，∠MAP=30°，cos30°=$\frac{AM}{AP}$，
∴AP=$\frac{AM}{cos30°}=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4}{3}$cm，
所以PD=2-$\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}$或$\frac{4}{3}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．