Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，點M在BC上，且BM=AC，N在AC上，且AN=MC，AM與BN相交于P，求證：∠BPM=45°．

Answer 1

證明：如圖，過M作ME∥AN，使ME=AN，連NE，BE，
則四邊形AMEN為平行四邊形，
∴NE=AM，ME⊥BC，
∵ME=AN=CM，∠EMB=∠MCA=90°，BM=AC，
∴△BEM≌△AMC，得BE=AM=NE，∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠4=90°且BE=NE，
∴△BEN為等腰直角三角形，∠BNE=45°，
∵AM∥NE，
∴∠BPM=∠BNE=45°．
分析：可過點M作ME∥AN，使ME=AN，連NE，BE，得出四邊形AMEN為平行四邊形，再通過求證△BEM≌△AMC，可得出△BEN為等腰直角三角形，進而再利用平行線的性質可得出結論．
點評：本題主要考查平行四邊形的判定及性質，等腰直角三角形的性質及全等三角形的判定及性質，能夠求解一些簡單的應用問題．