Question

4．對于給定的拋物線y=x²+ax-3，使實數(shù)p，q適合于$\frac{ap}{2}=q$-3．
（1）若（p-a）²≥a²+12，求證：y=x²+px+q與x軸有交點；
（2）證明：拋物線y=-x²-px-q的最大值等于拋物線y=x²+ax-3的最小值．

Answer 1

分析 （1）首先對（p-a）²≥a²+12進行變形，證得p²-4q≥0即可；
（2）首先利用拋物線的性質(zhì)，即可求得拋物線y=-x²-px-q的最大值和拋物線y=x²+ax-3的最小值，轉(zhuǎn)化為證明整式的大小關(guān)系即可．

解答 證明：（1）∵（p-a）²≥a²+12，
∴p²-2ap+a²≥a²+12，
∴$\frac{ap}{2}$≤$\frac{{p}^{2}}{4}$-3，
∴q-3≤$\frac{{p}^{2}}{4}$-3，
∴p²-4q≥0．
∵拋物線y=x²+px+q，
令y=0，則x²+px+q=0，
∴△=p²-4q，
∴△≥0，
∴拋物線y=x²+px+q與x軸有交點；
（2）拋物線y=x²-px-q的最大值是$\frac{{p}^{2}-4q}{4}$，
拋物線y=x²+ax-3的最小值是-$\frac{{a}^{2}+12}{4}$，
∵$\frac{ap}{2}$=q-3，
∴（a-p）²=a²-4q+12，
∴（a-p）²≥0，
∴a²+p²-4q+12≥0，
∴p²-4q≥-（a²+12），
∴$\frac{{p}^{2}-4q}{4}$≥-$\frac{{a}^{2}+12}{4}$，
∴拋物線y=-x²-px-q的最大值大于等于拋物線y=x²+ax-3的最小值．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及拋物線的性質(zhì)，當(dāng)二次項系數(shù)a＞0時，二次函數(shù)有最小值，等于定點的縱坐標(biāo)；當(dāng)a＜0時，二次函數(shù)有最大值，等于頂點的縱坐標(biāo)．