Question

（2012•金山區(qū)一模）已知△ABC中，∠C=90°，AB=9，cosA=

2

3

，把△ABC 繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)A’，點(diǎn)B落在點(diǎn)B’．若點(diǎn)A’在邊AB上，則點(diǎn)B、B’的距離為

4

5

．

Answer 1

分析：過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，利用解直角三角形的知識(shí)，分別求出AH、AC、BC的值，進(jìn)而利用三線合一的性質(zhì)得出AA'的值，然后利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可判定△ACA'∽△BCB'，繼而利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)可得出BB'的值．

解答：解：過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，

∵在RT△ABC中，∠C=90，cosA=

2

3

，
∴AC=ABcosA=6，BC=3

5

，
在RT△ACH中，AC=6，cosA=

2

3

，
∴AH=ACcosA=4，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AC=A'C，BC=B'C，
∴△ACA'是等腰三角形，因此H也是AA'中點(diǎn)，
∴AA'=2AH=8，
又∵△BCB'和△ACA'都為等腰三角形，且頂角∠ACA'和∠BCB'都是旋轉(zhuǎn)角，
∴∠ACA'=∠BCB'，
∴△ACA'∽△BCB'，
∴

AC

BC

=

AA′

BB′

，即

6

3 5

=

8

BB′

，
解得：BB'=4

5

．
故答案為：4

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了解直角三角形、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合考察的知識(shí)點(diǎn)較多，難度較大，解答本題的關(guān)鍵是得出△ACA'∽△BCB'，有一定難度．