Question

如圖，O為正方形ABCD對(duì)角線上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA的長(zhǎng)為半徑的⊙O與BC相切于M，與AB、AD分別交于E、F。

（1）求證：CD與⊙O相切；
（2）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，求⊙O的半徑；
（3）對(duì)于以點(diǎn)M、E、A、F以及CD與⊙O的切點(diǎn)為頂點(diǎn)的五邊形的五條邊，從相等的關(guān)系考慮，你可以得出哪些結(jié)論？并給出證明。

Answer 1

解：（1）連結(jié)OM，作ON⊥CD于N ∵ ⊙O與BC相切 ∴ OM⊥BC ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AC平分∠BCD， ∴OM=ON， ∴CD與⊙O相切； （2））∵四邊形ABCD為正方形， ∴AB=CD=1，∠B=90°，∠ACD=45°， ∴ AC=，∠NOC=45°=∠ACD OC= ∵ AC=AO+OC=， ∴AO+AO=， 所以O(shè)A=2-； （3）ME=FN，AE=AF 證明：作OG⊥AD，OH⊥AB ∵ AC平分∠BAD ∴ OG=OH ∵ AE=AF ∴ AD=AB ∵ DF=BE與⊙O相切 ∴ CM=CN ∵ BC=DC ∴ BM=DN 又∵∠B=∠D=90° ∴△EBM≌△FDN ∴ EM=FN。