Question

4．已知：拋物線C₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），且經(jīng)過（1，0）．把C₁先向左平移2個(gè)單位，再向上平移8個(gè)單位得到拋物線C₂．
（1）求拋物線C₂的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)拋物線C₂交x軸于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），第一象限有一點(diǎn)A，以AM為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)N，且∠MAN=45°，點(diǎn)P（a，b）為拋物線C₂在第二象限上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△AMP面積的最大值；
（3）若點(diǎn)P（a，b）為拋物線C₂在x軸上方部分圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠MPN≥45°時(shí)，求出a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）可先求得C₁的解析式，再進(jìn)行平移可求得C₂的解析式；
（2）由圓周角定理可先求得A點(diǎn)坐標(biāo)，可求得直線AM的解析式，過P作PE⊥x軸，交直線AM于點(diǎn)E，則可用a表示出PE的長(zhǎng)度，可表示出△AMP的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值；
（3）設(shè)直線AM交y軸于點(diǎn)H，則H為AM的中點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)P在以AM為直徑的圓內(nèi)或圓上時(shí)滿足∠MPN≥45°，結(jié)合圖象可求得圓與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得a的取值范圍．

解答 解：
（1）∵拋物線C₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），
∴設(shè)拋物線C₁的解析式為y=a（x-2）²+1，
∵經(jīng)過（1，0），
∴0=a×（1-2）²+1，解得a=-1，
∴設(shè)拋物線C₁的解析式為y=-（x-2）²+1，
∵把C₁先向左平移2個(gè)單位，再向上平移8個(gè)單位得到拋物線C₂，
∴拋物線C₂的解析式為y=-x²+9；
（2）在y=-x²+9中，令y=0可得：-x²+9=0，解得x=3或x=-3，
∴M（-3，0），N（3，0），
∵AM為直徑，
∴∠MNA=90°，
∴AN⊥MN，
∵∠MAN=45°，
∴AN=MN=3-（-3）=6，
∴A（3，6），
∴直線AM解析式為y=x+3，
如圖1，過P作PE⊥x軸，交AM于點(diǎn)E，

∵P在拋物線上，
∴P（a，-a²+9），則E（a，a+3），
∵P在第二象限，
∴PE=-a²+9-（a+3）=-a²-a+6=-（a+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
∴S_△AMP=$\frac{1}{2}$PE•[3-（-3）]=3×[-（a+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{25}{4}$]=-3（a+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{75}{4}$，
∴當(dāng)a=-$\frac{1}{2}$時(shí)，△AMP的面積最大，最大值為$\frac{75}{4}$；
（3）在（2）中，可知當(dāng)點(diǎn)P在以AM為直徑的圓上時(shí)，∠MAN=∠MPN=45°，如圖2，
則當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)時(shí)有∠MPN≥45°，

∵M(jìn)（-3，0），A（3，6），
∴AM的中點(diǎn)為（0，3），即圓心坐標(biāo)為（0，3），
當(dāng)點(diǎn)P在圓上時(shí)，滿足點(diǎn)P到圓心的距離等于半徑，
∴a²+（-a²+9-3）²=3²+3²，解得a²=9（舍去）或a²=2，
解得a=$\sqrt{2}$或a=-$\sqrt{2}$，
∴當(dāng)∠MPN≥45°時(shí)，求出a的取值范圍為-3＜a≤-$\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$≤a＜3．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、圖象的平移、二次函數(shù)的性質(zhì)及圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)．在（1）中先求得拋物線C₁的解析式是解題的關(guān)鍵，在（2）中表示出PE的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．