Question

16．對于正整數(shù)n，定義F（n）=$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}，n＜10}\\{f（n），n≥10}\end{array}\right.$，其中f（n）表示n的首位數(shù)字、末位數(shù)字的平方和．例如：F（6）=6²=36，F(xiàn)（123）=f（123）=1²+3²=10．規(guī)定F₁（n）=F（n），F(xiàn)_k+1（n）=F（F_k（n））．例如：F₁（123）=F（123）=10，F(xiàn)₂（123）=F（F₁（123））=F（10）=1．
（1）求：F₂（4）=37，F(xiàn)₂₀₁₅（4）=26；
（2）若F_3m（4）=89，則正整數(shù)m的最小值是6．

Answer 1

分析 通過觀察前8個數(shù)據(jù)，可以得出規(guī)律，這些數(shù)字7個一個循環(huán)，根據(jù)這些規(guī)律計算即可．

解答 解：（1）F₂（4）=F（F₁（4））=F（16）=1²+6²=37；
F₁（4）=F（4）=16，F(xiàn)₂（4）=37，F(xiàn)₃（4）=58，
F₄（4）=89，F(xiàn)₅（4）=145，F(xiàn)₆（4）=26，F(xiàn)₇（4）=40，F(xiàn)₈（4）=16，
通過觀察發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)字7個一個循環(huán)，2015是7的287倍余6，因此F₂₀₁₅（4）=26；
（2）由（1）知，這些數(shù)字7個一個循環(huán)，F(xiàn)₄（4）=89=F₁₈（4），因此3m=18，所以m=6．
故答案為：（1）37，26；（2）6．

點評 本題屬于數(shù)字變化類的規(guī)律探究題，通過觀察前幾個數(shù)據(jù)可以得出規(guī)律，熟練找出變化規(guī)律是解題的關鍵．