Question

如圖，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AD=AE，AF⊥BE交BC于點(diǎn)F，過(guò)F作FG⊥CD交BE的延長(zhǎng)線于G，下列結(jié)論（1）∠ABE=∠ACD；（2）EG=MG；（3）GM=MF；（4）BG-FG=AF中，正確的序號(hào)是______．

Answer 1

解：∵△ABC為等腰直角三角形，
∴AC=AB，∠BAC=90°，
而AD=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△ACD，
∴∠ABE=∠ACD；所以（1）正確．
∴∠BEA=∠ADC，
又∵GF⊥DC，
∴∠FMC+∠DCM=90°，
而∠ADC+∠DCM=90°，
∴∠AEB=∠FMC，
∴∠GEM=∠GME，
∴GE=GM，所以（2）正確．
過(guò)G作GN⊥BC交AF的延長(zhǎng)于點(diǎn)N，連BN，如圖，
∵∠6=90°-∠DCB，∠7=∠AFB=90°-∠2，
而∠1=∠4，
∴∠2=∠DCB，
∴∠6=∠7，
∴FC垂直平分GN，
∴FN=FG，且BN=BG，∠2=∠3，
又∵∠1+∠2+∠3=45°+∠2=45°+45°-∠1=90°-∠1，
∠BAN=90°-∠5，
而∠1=∠5，
∴∠1+∠2+∠3=∠BAN，
即∠ABN=∠BAN，
∴NA=NB，
∴BG=AN=AF+FN=AF+FG，所以（4）正確．
故答案為：（1），（2），（4）．
分析：由△ABC為等腰直角三角形，得AC=AB，∠BAC=90°，而AD=AE，得Rt△ABE≌Rt△ACD，∠ABE=∠ACD；所以（1）正確．
則∠BEA=∠ADC，而GF⊥DC，通過(guò)互余得到∠AEB=∠FMC，則∠GEM=∠GME，得到GE=GM，所以（2）正確．
過(guò)G作GN⊥BC交AF的延長(zhǎng)于點(diǎn)N，連BN，由∠6=90°-∠DCB，∠7=∠AFB=90°-∠2，而∠1=∠4，∠2=∠DCB，得到∠6=∠7，則FC垂直平分GN，得到FN=FG，且BN=BG，∠2=∠3，再由∠1+∠2+∠3=45°+∠2=45°+45°-∠1=90°-∠1，∠BAN=90°-∠5，得到∠ABN=∠BAN，則NA=NB，BG=AN=AF+FN=AF+FG，所以（4）正確．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)：兩腰相等，兩底角都為45度．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)．