Question

如圖，△ABC是邊長為a的等邊三角形，D是BC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作AB、AC的垂線，垂足為E、F．

(1)計(jì)算：AD=            ，（2分）EF=             （2分）（用含a的式子表示）；

(2)求證：DE=DF．（6分）

 

Answer 1

【答案】

(1)，；（2）證明詳見解析.

【解析】

試題分析：此題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，以及含30°直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵所在．（1）由三角形ABC為等邊三角形，得到AB=AC=BC=a，由D為BC的中點(diǎn)，可得：，利用三線合一得到AD⊥BC,利用勾股定理求出AD的長；由∠B=60°，DE垂直于AB，得到∠EDB=30°，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半求出,同理可得，所以AE=AF，進(jìn)而可得等邊三角形AEF。而AE=AB-BE，即可求出EF的長。

（2）由AD為角平分線，且DE垂直于AB，DF垂直于AC，利用角平分線定理即可得到DE=DF．

試題解析：

解：（1）∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=AC=BC=a，∠B=60°，

又D為BC的中點(diǎn)，

∴

∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，

在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理得：

∵在，

∴

∴，同理可得：

∴AB-BE=AC-CF

即：AE=AF

∴△AEF是等邊三角形.

∴AE=EF=AF

∵

∴

（2）∵D為BC的中點(diǎn)，AB=AC=BC

∴AD平分∠BAC，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF．

考點(diǎn)：1、等邊三角形的性質(zhì)與判定；2、勾股定理；3、含30°直角三角形的性質(zhì)；4、角平分線的性質(zhì).