Question

由矩形ABCD的外接圓上任意一點M向它的兩對邊引垂線MQ和MP，向另兩邊延長線引垂線MR，MT．證明：PR與QT垂直，且它們的交點在矩形的一條對角線上．

Answer 1

分析：連接BD交PR于N，連接QN、DM、DB、AM、BN、MN、TN、MC，可得出M、P、Q共線，R、D、N、M四點共圓，R、D、N、Q、M五點共圓，再根據矩形QCTM中，∠5=∠4=∠2，∠5+∠6=∠2+∠7=90°，∠NQT=∠5+∠DQM+∠6=180°，即可求出N、Q、T共線，進而可得出答案．

解答：解：連接BD交PR于N，連接QN、DM、DB、AM、BN、MN、TN、MC，顯然M、P、Q共線，R、M、T共線，在矩形APMR中，
∠1=∠2=∠3，
∴R、D、N、M四點共圓，
∴R、D、N、Q、M五點共圓，
∴∠RNQ=90°，∠6=∠7，
在矩形QCTM中，∠5=∠4=∠2，
∴∠5+∠6=∠2+∠7=90°，
∴∠NQT=∠5+∠DQM+∠6=180°，
∴N、Q、T共線，
∴TQ⊥PR且它們的交點在矩形的一條對角線上．

點評：本題考查的是梅涅勞斯定理與賽瓦定理，能根據題意得出R、D、N、M四點共圓，R、D、N、Q、M五點共圓是解答此題的關鍵．