Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），經(jīng)過點A的直線l：y=kx+b與y軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，且CD=4AC．

（1）直接寫出點A的坐標，并求直線l的函數(shù)表達式（其中k，b用含a的式子表示）；

（2）點E是直線l上方的拋物線上的一點，若△ACE的面積的最大值為，求a的值；

（3）設(shè)P是拋物線對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A，D，P，Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=ax+a；（2）a=﹣；（3）能，P點的坐標為P1（1，﹣4），P2（1，﹣）．

【解析】

試題分析：（1）由拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）與x軸交于兩點A、B，求得A點的坐標，作DF⊥x軸于F，根據(jù)平行線分線段成比例定理求得D的坐標，然后利用待定系數(shù)法法即可求得直線l的函數(shù)表達式．

（2）設(shè)點E（m，a（m+1）（m﹣3）），yAE=k1x+b1，利用待定系數(shù)法確定yAE=a（m﹣3）x+a（m﹣3），從而確定S△ACE=（m+1）[a（m﹣3）﹣a]=（m﹣）2﹣a，根據(jù)最值確定a的值即可；

（3）分以AD為對角線、以AC為邊，AP為對角線、以AC為邊，AQ為對角線三種情況利用矩形的性質(zhì)確定點P的坐標即可．

解：（1）令y=0，則ax2﹣2ax﹣3a=0，

解得x1=﹣1，x2=3

∵點A在點B的左側(cè)，

∴A（﹣1，0），

如圖1，作DF⊥x軸于F，

∴DF∥OC，

∴=，

∵CD=4AC，

∴==4，

∵OA=1，

∴OF=4，

∴D點的橫坐標為4，

代入y=ax2﹣2ax﹣3a得，y=5a，

∴D（4，5a），

把A、D坐標代入y=kx+b得，

解得，

∴直線l的函數(shù)表達式為y=ax+a．

（2）設(shè)點E（m，a（m+1）（m﹣3）），yAE=k1x+b1，

則，

解得：，

∴yAE=a（m﹣3）x+a（m﹣3），

∴S△ACE=（m+1）[a（m﹣3）﹣a]=（m﹣）2﹣a，

∴有最大值﹣a=，

∴a=﹣；

（3）令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，

解得x1=﹣1，x2=4，

∴D（4，5a），

∵y=ax2﹣2ax﹣3a，∴拋物線的對稱軸為x=1，

設(shè)P1（1，m），

①若AD是矩形的一條邊，

由AQ∥DP知xD﹣xP=xA﹣xQ，可知Q點橫坐標為﹣4，將x=﹣4帶入拋物線方程得Q（﹣4，21a），

m=yD+yQ=21a+5a=26a，則P（1，26a），

∵四邊形ADPQ為矩形，∴∠ADP=90°，

∴AD2+PD2=AP2，

∵AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，

PD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，

∴[4﹣（﹣1）]2+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2=（﹣1﹣1）2+（26a）2，

即a2=，∵a＜0，∴a=﹣，

∴P1（1，﹣）．

②若AD是矩形的一條對角線，

則線段AD的中點坐標為（，），Q（2，﹣3a），

m=5a﹣（﹣3a）=8a，則P（1，8a），

∵四邊形ADPQ為矩形，∴∠APD=90°，

∴AP2+PD2=AD2，

∵AP2=[1﹣（﹣1）]2+（8a）2=22+（8a）2，

PD2=（4﹣1）2+（8a﹣5a）2=32+（3a）2，

AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，

∴22+（8a）2+32+（3a）2=52+（5a）2，

解得a2=，∵a＜0，∴a=﹣，

∴P2（1，﹣4）．

綜上可得，P點的坐標為P1（1，﹣4），P2（1，﹣）．